Liber Abaci

Capitulum V

________________________________________________________________

Incipit capitulum quintum

de divisionibus integrorum numerorum.

――――――

VOLENTIBUS scire dividere quoslibet numeros per quoslibet numeros, necessarium est eis ut addiscant prius dividere omnes numeros per numeros qui sunt a binario usque in decenarium; et cum hoc scire non possint, donec quasdam introductiones divisionum quorumdam numerorum per ipsos cordetenus, sciant quorum divisiones in sequentibus paginis in tabulis declarantur. Sod et doceatur primum qualiter cuncta minuta numerorum perfecte scribantur.

[...]

Divisio 1346 per 4.

Item si voluerit quis dividere 1346 per 4, ponat 4 sub 6 et dividat 13 per 4, cum non possit dividere 1, quod est in ultimo gradu numeri, exibunt 3 et remanet 1: ponat 3 sub 3 et remanens 1 ponat sub eadem 3, et copulet ipsum 1 cum 4 que antecedunt 3 in numero, erunt 14: sumat quartam de 14 que est 3 et remanent 2: ponat 3 inferius sub 4 et remanentia 2 superius, quibus copulatis cum 6, faciunt 26; que dividat per 4, exibunt 6 et remanent 2: ponat 6 sub 6 et remanentia 2 ponat sub virgula de 4 ex parte servata [fol. 13r] que notant duas quartas unius integri, que equales sunt medietati unius integri; et ante ipsas ponat numerum exeuntem ex divisione, scilicet 336; et sic habebuntur 1/2 336 pro quesita divisione. Verbi gratia: divisimus primum 13 per 4, que 13 terminantur in tertio gradu. Quare ipsa esse centenaria cognoscimus, cum tertius gradus sit centenariorum. Divisis ergo tredecim centenariis per 4, veniunt centenaria tria et remanet unum centenarium indivisibile. Quare posuimus 3 in tertio gradu, scilicet in loco centenariorum et 1, quod fuit superfluum, posuimus super 6 et est denotans centum; et copulavimus ipsum 1 cum 4, fecerunt 14 que terminantur in secundo gradu, scilicet in loco decenarum. Quare denotant centenas decenas 14, quas divisimus per 4, venerunt tres decene, et duedecene remanserunt indivisibiles: quare posuimus 3 sub 4 et 2 super 4 in loco, videlicet decenarum, et copulavimus ipsa 2 cum 6 primi gradus. Ex quorum copulatione habuimus 26 unitates; cum ipsa copulatio terminet in primo gradu; et divisimus ipsas 26 unitates per 4, et venerunt unitates 6, et remanserunt 2. Quare posuimus 6 in loco unitatum, et duo posuimus super virgam de 4; et sic intelligatur de reliquis similibus divisionibus.

Divisio 5439 per 5.

Item si voluerit dividere 5439 per 5, ponat 5 sub 9 et dicat 1/5 de 5 est 1, quod ponat sub 5 et 1/5 de 4 est 0, et remanent 4: ponat 0 sub 4, et pro remanentibus 4 copulet ipsa 4 cum 3 et dicat: 1/5 de 43 sunt 8 et remanent ipsa 3: ponat 8 sub 3 et accipiat quintam de ipsis 3 copulatis cum 9, scilicet de 39, exibunt 7 et remanent 4: ponat 7 sub 9 et 4 super virgulam de 5 ex parte servatis et ante ponat numerum exeuntem ex divisione.

Divisio 9000 per 7.

Item si voluerit dividere 9000 per 7, ponat 7 sub primo zephyro, et dividat 9 per 7, exibit 1 et remanent 2: ponat ergo 1 sub 9 et 2 desuper, quibus copulatis cum 0, quod est secus 9, faciunt 20 que dividat per 7, exibunt 2 et remanent 6: ponat 2 sub illo zephyro, et 6 desuper, quibus copulatis cum sequenti zephyro, faciunt 60 que dividat per 7, exibunt 8 et remanent 4: ponat 8 sub illo zephyro 0, et desuper ponat 4, quibus copulatis cum zephyro primi gradus, faciunt 40, que dividat per 7, exibunt 5, et remanent 5: ponat 5 sub ipso 0 et remanentia 5 ponat super virgulam de 7 ex parte descripta, et ante ipsam ponat numerum exeuntem ex divisione.

Divisio 10000 per 8.

Item si voluerit dividere 10000 per 8, ponat 8 sub 0 primi gradus et dicat: 1/8 de 10 est 1 et remanent 2: ponat 1 sub 0 tertii gradus, et desuper ponat 4 et accipiat 1/8 de 40 que est 5 que ponat sub secundo gradu; et ut expleatur ordo graduum exeuntis numeri, ponendum est 0 sub 0 primi gradus, ut in hac descriptione cernitur.

Divisio 120037 per 9.

Item si 120037 per 9 dividere voluerit, describat 9 sub 7 et dicat: 1/9 de 12 est 1 et remanent 3: ponat 1 sub 2 et superius 3, et 1/9 de 30 est 3 et remanent 3: ponat 3 sub 0 quarti gradus, et desuper ponat 3; et iterum accipiat 9 de 30 quod est 3 et remanent 3: ponat 3 sub 0 tertii gradus et 3 ponat super ipsum 0: iterum et 1/9 de 33 est 3 et remanent 6: ponat 3 sub 3 et superius 6 et 1/9 de 67 est 7 et remanent 4: ponat 7 sub 7 et remanentia 4 ponat super virgulam de 9 ex parte descripta. Et ita si secundum prescriptum dividendi ordinem dividere sciverit in aliquibus similibus divisionibus nunquam poterit deviare: etiam per eundem modum omnes numeri dividi possunt per 11 et per 13: tamen oportet primum scire introductiones ipsorum ordinum aliorum suprascriptorum ut in tabulis divisionum superius continentur. Nam introductio de 11 ascendit ab uno usque in decies 11, scilicet in 110. Et introductio de 13 ascendit ab 1 usque in decies 13, scilicet 130.

Divisione numerorum per 11.

Notis quidem dictis introductionibus, et voluerit quis dividere 12532 per 11, ponat 11 sub 32. Et accipiat 1/11 de 12, que sunt in capite dividendi numeri quod est 1, et remanet 1. Ideo quia 1/11 de 11 est 1 sicut in suprascriptis tabulis ostenditur; ergo 1/11 de 12 est 1 et remanet 1. Pone itaque 1 sub 2 de ipsis 2 et remanens 1 ponat super 2, [fol. 13v] et copulet ipsum 1 cum antecedente figura, scilicet cum 5, facient 15, de quibus accipiat 1/11 que est 1 et remanet 4 dicta ratione; et ponat 7 sub 5 et remanentia 4 super 5 que copulet cum antecedente figura, scilicet cum 3, facient 43: de quibus iterum accipiat 1/11 que est 3 et remanent 10: ideo quia 1/11 de 33 est 3, a quibus usque in 43 sunt 10: ergo 1/11 de 43 est 3 et remanent 10 ut diximus: ponat ergo 3 sub 3, et 10 ponat super 43, hoc est ponat 1 super 4, que posita fuerunt super 5 et 0 ponet super 3, et copulet rursus ipsa 10 cum antecedente figura, scilicet cum 2 que sunt in primo gradu, erunt 102, de quibus iterum accipiet 1/11, erunt 9 et remanent 3: ponat 9 sub dictis 2 et remanentia 3 ponat super virgulam de 11 ex parte servata, et habebit pro quesita divisione 3/11 1139.

Divisio de

Item si voluerit dividere 123586 per 13, positis 13 sub 86, dividat 123 per 13; cum 12 minus sit de 13, exibunt 9 et remanent 6. Nam tertia decima de 117 est 9, a quibus usque in 123 desunt 6: ponat 9 sub 3 de ipsis 123 et remanentia 6 ponat super eisdem 3 et copulabit ea cum 5, erunt 65, quorum 1/13 est 5: quare ponat 5 sub 5 et sub 8 ponat 0 cum 8 minus sint de 13, et copulabit ipsa 8 cum 6 que sunt in primo gradu, erunt 86, quorum 1/13 cum sit 6 et remanent 8: ponet 6 in primo gradu exeuntis numeri, et 8 super virgam de 13, et habebit pro quesita divisione 8/13 9506: per hunc etiam modum possunt dividi numeri per 17 et per 19; tamen oportet scire introductiones ipsorum ordine aliorum suprascriptorum numerorum. Sed cum grave videatur ipsorum introductiones cordetenus posse retineri, qualiter per alium modum numeri dividantur per 17 et per 19, etiam et per alios numeros duarum figurarum, in suo loco demostrabimus.

[...]