Liber Abaci

Capitulum II

________________________________________________________________

Incipit capitulum secundum

de multiplicatione integrorum numerorum.

――――――

CAPITULUM secundum de multiplicationibus integrorum numerorum in octo partes dividimus, ut differentie atque proprietates earum melius intelligantur.

Quarum prima pars erit de multiplicatione duarum figurarum contra duas, atque unius figure contra plures.

Secunda de multiplicatione trium figurarum contra tres, atque duarum figurarum in tribus.

Tertia de multiplicatione quattuor figurarum contra quattuor, etiam et duarum figurarum et trium in quattuor figuris.

Quarta de multiplicacione quinque figurarum in quinque.

Quinta de multiplcatione plurium figurarum quam quinque, qualiter multiplicentur ad invicem.

Sexta de multiplicatione numerorum secundi gradus per numeros eiusdem gradus, hoc est duarum figurarum per duas,

atque unius figure contra plures, qualiter cordetenus in manibus multiplicentur.

Septima de multiplicatione trium figurarum per tres similiter qualiter in manibus cordetenus multiplicentur.

Octava de multiplicatione omnium numerorum alium modum.

Incipit pars prima de multiplicatione duarum figurarum contra duas.

Numerus se ipsum multiplicare dicitur, quando similis per similem multiplicatur, ut 12 per 12, vel 26 per 26. Numerus numerum multiplicare dicitur, quando numeri se invicem multiplicantes fuerint ad invicem inequales, ut 12 per 37 et 46 per 59: denique nos primum numeros secundi gradus ut promisimus, scilicet a 10 usque in centum in semetipsos multiplicare doceamus. Cum autem vis multiplicare aliquem numerum secundi gradus per aliquem numerum eiusdem gradus, sive equales sint numeri, sive inequales, scribes numerum sub numero, ita ut similis gradus sit sub simili gradu; et si numeri sunt inequales, sit maior sub minore, et incipiat multiplicationem a primo gradu numerorum in tabula prescriptorum. Siquidem multiplicet figuram primi gradus superioris numeri in tabula prescripti per figuram primi gradus subterioris, et scribantur unitates super primum gradum numerorum prescriptorum, et per unam quamque decenam retineat in manu sinistra unum: deinde multiplicet figuram primi gradus superioris numeri per figuram secundi gradus, per ultimam scilicet subterioris numeri, et econtra: figura primi gradus subterioris multiplicetur per ultimam figuram superioris, et addantur in manu cum servatis decenis; et iterum unitates scribantur super secundum gradum, et retineatur in manu decene. Item multiplicetur ultima figura superioris numeri per ultimam subterioris, et quod ex multiplicatione evenerit cum servatis decenis in manu super addatur, et unitates in tertio gradu et decene super fuerint in quarto ponantur, et habebitur multiplicatio quorumlibet numerorum a decem usque in centum.

Verbi gratia: ut si quesierit multiplicationem de 12 in 12, scribantur 12 bis in tabula dealbata in qua littere leviter deleantur, sicuti in hac margine scriptum cernitur, primus gradus subterioris numeri sub primo superioris, hoc est figura binarii sub figura binarii, et secundus gradus subterioris sub secundo superioris, scilicet figura unitatis sub figura unitatis, et multiplicet binarium per binarium, erunt 4, que ponat super utrumque binarium ut in prima descriptione posita sunt. Iterum multiplicentur superiora per 1 qui est in secundo gradu inferioris numeri, erunt 2 que serventur in manu, et multiplicet iterum 2 subterioris numeri per 1 superioris, erunt 2; que addat cum duobus superius servatis, erunt 4, que ponat super unitatem utramque; facient ipsa 4 secundum gradum, post priora posita 4 que fecerant primum gradum, ut in secunda descriptione describitur; et adhuc multiplicetur 1 de superiori numero per unum de subteriori, faciet 1; quod 1 scribatur in tertio gradu, scilicet post 44 descripta, ut in tertia et ultima descriptione ostenditur. Et in tot ascendit multiplicatio de 12 in se ipsa, scilicet 144. Iterum ut lucidius clarescat, 37 per 37 multiplicentur. Scribantur quidem 37 sub 37, ut superius de 12 diximus, et multiplicentur 7 per 7, erunt 49: ponatur itaque 9 super utrumque 7 ut in prima descriptione ostenditur, et pro quattuor de decenis, que sunt in 49, serventur 4 in manu, et multiplicentur 7 de superiori numero per 3 de inferiori, et 7 de inferiori per 3 de superiori et iungantur insimul, erunt 42, quibus additis cum 4 superius servatis, erunt 46: scribantur unitates de 46, que sunt 6 super utrumque 3, ut in secunda descriptione denotatur. Et 4 pro quattuor decenis que sunt in 46 [fol. 5r] in manu serventur, et adhuc multiplicentur 3 de superiori numero per 3 de inferiori erunt 9; que adde cum 4 modo in manu servatis, erunt 13: ponantur 3 de 13 in tertio gradu et 1 in quarto, ut continetur in tertia et ultima descriptione. Que multiplicatio, si recta est, ita cognoscitur. Iungantur quidem figure que sunt in superioribus 37, scilicet 3 cum 7, erunt 10, de quibus dematur 9, remanebit 1, quod servetur. Eodemque modo colligantur figure de 37 inferioribus, et demantur inde 9, remanebit similiter 1: multiplicetur ergo 1 quod remansit de superioribus 37 per 1 quod remansit de inferioribus, faciet 1, quod vocetur pensa vel portio, et servetur in tabula super ipsam multiplicationem, ut in tertia descriptione cernitur: postea colligantur figure que sunt in summa multiplicationis, et de collecta quantitate demantur 9 quotiens potuerit; et si 1 remanebit sicuti pro pensa servatum est, recta utique erit multiplicatio. Verbi gratia: ut si iunximus figuras que sunt in summa multiplicationis, scilicet 1 et 3 et 6 et 9, erunt 19, de quibus extrahe bis novenarium, remanebit 1, ut pro pensa prediximus eum debere remanere: vel de dictis 19 dele 9 que sunt in primo gradu ipsorum, remanebit similiter 1. Et nota cum additis figuris de 37, scilicet 3 cum 7, tunc dividis 37 per 9, de qua divisione remanet 1, sicut remansit ex 10 que procreata fuerint ex additione 3 et 7, cum ex eis extracta fuerunt 9: nam residuum quod remanet ex quovisnumero diviso per 9, est summa que ponitur ex additatione omnium figurarum facientium ipsum numerum. Et notandum rursus, cum aliquis numerus dividitur in partes, et una queque partium multiplicatur per aliquem numerum, sunt ille multiplicationes in unum collecte equales multiplicationi totius numeri divisi in numerum, in quem multiplicate fuerunt omnes partes ipsius. Ergo multiplicationes de 36 per 37, et de 1 per 37 in unum coniuncte, equantur multiplicationi de 37 in 37. Sed ex multiplicatione de 37 in 37 provenit numerus qui creatus est ex aliqua multitudine novenariorum, cum 36 sint concreta ex novenariis. Quare numerus surgens ex 36 in 37, si divisus fuerit per 9, nichil ex eo remanebit indivisibile.

Item multiplicatio de 1 in 37, est equalis summe multiplicationis de 1 in 36 et de 1 in 1. Sed ex multiplicatione de 1 in 36 provenit numerus qui integraliter dividitur per 9: multiplicatio ergo de 1 in 1, scilicet 1, remanet indivisibilis per 9. Ergo de 37 in 37 divisa per 9 remanet 1, quod habetur ex collectione figurarum omnium que sunt in summa de 37 in 37, ut superius invenimus: vel ex dicta summa prohice 9, remanebunt 136, de quibus deme 3 et 6 cum coniunta faciant 9, remanebit similiter 1 indivisibiles de 1369 divisis per 9.

[...]